Etymologie, Etimología, Étymologie, Etimologia, Etymology
@_ Welt, Mundo, Monde, Mondo, World
Zahlen, Número, Nombre, Numero, Number
Zahl 16180 in Alltag und Sprache
Goldener Schnitt, Número áureo, Nombre d'Or, Sezione aurea, Golden ratio

A

B

C

D

E

F

Fibonacci (W3)

"Fibonacci" bedeutet wörtlich "Sohn des Bonacci".

(E?)(L?) http://www.ganzezahlen.at.tf/
Fibonacci, Leonardo

(E?)(L1) http://turnbull.mcs.st-and.ac.uk/history/Indexes/F.html
Fibonacci, Leonardo (2223*)

(E?)(L1) http://turnbull.mcs.st-and.ac.uk/history/Indexes/L.html
Leonardo of Pisa (Fibonacci) (2223*)

(E?)(L1) http://turnbull.mcs.st-and.ac.uk/history/Indexes/PQ.html
Pisano, Leonardo Fibonacci (2223*)

(E?)(L?) http://primes.utm.edu/glossary/
Fibonacci | Fibonacci prime

(E1)(L1) http://books.google.com/ngrams/graph?corpus=8&content=Fibonacci
Abfrage im Google-Corpus mit 15Mio. eingescannter Bücher von 1500 bis heute.

Dt. "Fibonacci" taucht in der Literatur um das Jahr 1810 auf.

Erstellt: 2011-11

Fibonacci Numbers (W3)

"Fibonacci", der "Sohn des Bonaccio", gab einer Zahlenreihe den Namen, dt. "Fibonacci-Zahlen", engl. "Fibonacci numbers". Diese werden definiert durch:

f(0)=0
f(1)=1
f(n)=f(n-2)+f(n-1)

Diese Zahlenfolge (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...) kommt des öfteren in der Natur vor; z.B. in der Anordnung von Blütenblättern oder den Noppen der Annanas oder dem theoretischen Wachstum von Hasen-Populationen.

Die engl. "Fibonacci Numbers" (dt. "Fibonacci-Zahlenreihe") tragen den Namen des italienischen Mathematikers Leonardo Fibonacci (1170-1250) (auch "Leonardo da Pisa").

Fibonacci erstellte damit ein Modell des Wachstums einer Kaninchenpulation.

The Fibonacci rhyme scheme is based upon the Fibonacci number. Fibonacci number names an integer in the sequence that begins 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, and continues infinitely.

The Fibonacci sequence is found in nature, in music, and yes, in literature. In case its code isn't obvious, we'll recount the pattern Italian mathematician Leonardo Fibonacci described eight centuries ago. Its first two terms are predetermined (1 and 1); each successive term is the sum of the two integers immediately preceding it.

So where does poetry fit in? We'll answer in the form of a "fib", the name coined by writer Gregory K. Pincus, the fellow who's been popularizing the 1, 1, 2, 3, 5, 8 syllabic form on the Web. Pincus says his first "fib" was this six-line effort:

One
Small
Precise
Poetic
Spiraling Mixture:
Poetry plus math yields the Fib.

The Fibonacci poem, or Fib, follows a pattern in which the first two lines count one syllable each, the third line has two syllables, the fourth line has three, the fifth five, and the sixth line has eight.

The Fib is a poetic form (in the mold of the unrhymed haiku), but it should not be described as a rhyme scheme. Rhyme scheme refers to the formal arrangement of rhymes in a stanza or poem. Rhymes—which come in many varieties—produce sounds that appeal to the ear and that are used to unify and establish a poem's form.

(E?)(L?) http://www.ams.org/notices/200308/comm-sloane.pdf
The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences

(E?)(L?) http://www.artlex.com/ArtLex/Fi.html#anchor3500612
(E?)(L1) http://www.research.att.com/~njas/sequences/
The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS)

(E?)(L?) http://www.businessdictionary.com/terms-by-letter.php?letter=F
(E?)(L?) http://www.cut-the-knot.org/arithmetic/Fibonacci.shtml
(E?)(L?) http://www.cut-the-knot.com/glossary/ctop.html
| Ceva's Theorem and Fibonacci Bamboozlement

(E?)(L?) http://www.cut-the-knot.com/glossary/ftop.html
Ceva's Theorem and Fibonacci Bamboozlement | Fibonacci Nim

(E?)(L?) http://www.friesian.com/science.htm
(E?)(L1) http://www.gutenberg.org/browse/authors/p
Plouffe, Simon, 1956-: The First 1001 Fibonacci Numbers (English) (as Editor)

(E?)(L?) http://www.gutenberg.org/cache/epub/2585/pg2585.html

...
F(1001) = 70330367711422815821835254877183549770181269836358732742604905087154537118196933579742249494562611733487750449241765991088186363265450223647106012053374121273867339111198139373125598767690091902245245323403501

(E?)(L?) http://www.howstuffworks.com/environmental/life/evolution/fibonacci-nature.htm

How are Fibonacci numbers expressed in nature?
...
In 1202, Italian mathematician Leonardo Pisano (also known as "Fibonacci", meaning "son of Bonacci") pondered the question: Given optimal conditions, how many pairs of rabbits can be produced from a single pair of rabbits in one year? This thought experiment dictates that the female rabbits always give birth to pairs, and each pair consists of one male and one female.
...

(E?)(L?) http://www.investopedia.com/categories/tradingterms.asp
Fibonacci Arc | Fibonacci Clusters | Fibonacci Fan | Fibonacci Retracement | Fibonacci Time Zones

(E?)(L?) http://www.investopedia.com/terms/f/
Fibonacci Arc | Fibonacci Channel | Fibonacci Clusters | Fibonacci Extensions | Fibonacci Fan | Fibonacci Retracement | Fibonacci Time Zones

(E?)(L?) http://www.investopedia.com/categories/technicalanalysis.asp
Fibonacci Arc | Fibonacci Channel | Fibonacci Clusters | Fibonacci Extensions | Fibonacci Fan | Fibonacci Retracement | Fibonacci Time Zones

(E?)(L?) http://www.investopedia.com/terms/f/fibonaccilines.asp#axzz1bEzvhB5G

Fibonacci Numbers/Lines
Leonardo Fibonacci was an Italian mathematician born in the 12th century. He is known to have discovered the "Fibonacci numbers," which are a sequence of numbers where each successive number is the sum of the two previous numbers.

e.g. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, etc.

These numbers possess a number of interrelationships, such as the fact that any given number is approximately 1.618 times the preceding number.

(E?)(L?) http://www.investorwords.com/cgi-bin/letter.cgi?f
Fibonacci retracement

(E?)(L?) http://www.mathpages.com/home/ialgebra.htm
Fibonacci, 1/89, And All That

(E?)(L?) http://www.mathpages.com/home/kmath285/kmath285.htm
Interleaving Fibonacci Numbers

(E?)(L?) http://www.mathpages.com/home/inumber.htm
Unit Fractions and Fibonacci

(E?)(L?) http://xlinux.nist.gov/dads/
kth order Fibonacci numbers | pth order Fibonacci numbers: see kth order Fibonacci numbers

(E?)(L?) http://xlinux.nist.gov/dads//
Fibonaccian search | Fibonacci heap | Fibonacci number | Fibonacci tree

(E?)(L?) http://xlinux.nist.gov/dads/HTML/fibonacciNumber.html

Fibonacci number
Definition: A member of the sequence of numbers such that each number is the sum of the preceding two. The first seven numbers are 1, 1, 2, 3, 5, 8, and 13. F(n) ˜ round(Fn/v 5), where F=(1+v 5)/2.

Formal Definition: The nth Fibonacci number is:
...

(E?)(L1) http://numbergossip.com/list
Fibonacci

(E?)(L?) http://oeis.org/locate_tab.html
Fibonacci entry points | Fibonacci expansion | Fibonacci or circle product | Fibonacci primitive root | Fibonacci representations | Fibonacci search | Fibonacci successors | Fibonacci word (or binary sequence) | Fibonacci-Pascal triangle | Fibonomial Catalan numbers | Fibonomial coefficients | Knuth's Fibonacci or circle product | sieve, Fibonacci | take-a-Fibonacci-number | word, Fibonacci

(E?)(L?) http://oeis.org/locate_tab.html
Coding Fibonacci numbers | Convolved Fibonacci numbers | Fibonacci numbers | partitions, into Fibonacci numbers | primes, Fibonacci numbers | Representations as sums of Fibonacci numbers | semi-Fibonacci numbers

characteristic functions (015): A010056 A000045 A001690 Fibonacci numbers
Coding Fibonacci numbers:: A005203, A005205
complements of: Bell numbers, A092460; Catalan numbers, A092459; cubes, A007412; evil numbers, A000069; Fibonacci numbers, A001650; odious numbers, A001969; powers of 2, A057716; primes, A018252 and A002808; squares, A000037; triangular numbers, A014132
compositions, into Fibonacci numbers: see Fibonacci numbers, number of ways to write n as a sum of
Convolved Fibonacci numbers:: A001629, A001628, A001872, A001873, A001874, A001875
Fibonacci entry points: see under Fibonacci numbers, Fibonacci entry points
Fibonacci numbers, +- k: A000045 A001611 A000071 A157725 A001911 A157726 A006327 A157727 A157728 A157729 A167616
Fibonacci numbers, sequences related to (start):
Fibonacci numbers, A000045*
Fibonacci numbers, bisection of: A001519, A001906
Fibonacci numbers, coded: A005203, A005205
Fibonacci numbers, compositions into: see Fibonacci numbers, number of ways to write n as a sum of
Fibonacci numbers, convolved: A001628 A001629 A001872 A001873 A001874 A001875 A006684 A037027
Fibonacci numbers, ending in n: A000350
Fibonacci numbers, Fibonacci entry points: A001602, A001177
Fibonacci numbers, Fibonacci in digits: A093086
Fibonacci numbers, frequencies: A001178
Fibonacci numbers, generalized, g.f.: (2-rx)/(1-rx-sx^2): (1) A000032 (Lucas), A002203 (Pell-Lucas), A006497, A014448, A014551 (Pell-Jacobsthal), A072265, A075118, A080040, A080042, A085447, A087130, A087131,
Fibonacci numbers, generalized, g.f.: (2-rx)/(1-rx-sx^2): (2) A087404, A087451, A102345
Fibonacci numbers, generalized, g.f.: x/(1-rx-sx^2): (1) A000045 (Fibonacci), A000129 (Pell), A001045 (Jacobsthal), A001076, A002532, A005668, A006130, A006131, A006190, A007482, A015440, A015441,
Fibonacci numbers, generalized, g.f.: x/(1-rx-sx^2): (2) A015442, A015518, A015519, A015521, A015523, A015530, A015531, A015532, A015532, A015535, A015536, A015537,
Fibonacci numbers, generalized, g.f.: x/(1-rx-sx^2): (3) A015540, A015541, A015551, A015555, A015559, A015561, A015562, A015564, A015574, A015575, A015579, A015580,
Fibonacci numbers, generalized, g.f.: x/(1-rx-sx^2): (4) A015581, A030195, A057087, A057088, A080953, A083099, A083858, A085449, A085939, A090017, A106648
Fibonacci numbers, generalized: (1) A001584 A005189 A006207 A006208 A006209 A006210 A006211 A006603 A006604 A015440 A015441 A015442
Fibonacci numbers, generalized: (2) A015443 A015445 A015446 A015447 A015448 A015449 A015453 A015454 A015455 A015456 A015457 A054437
Fibonacci numbers, generalized: (3) A057076
Fibonacci numbers, mod n: A001175
Fibonacci numbers, number of ways to write n as a sum of: A000119, A000121, A013583, A083853, A076739, A080888, A003107, A007000
Fibonacci numbers, occurrence of numbers in:: A001602, A001177
Fibonacci numbers, partitions into: see Fibonacci numbers, number of ways to write n as a sum of
Fibonacci numbers, partitions into:: A003107, A007000
Fibonacci numbers, periods of: A001175
Fibonacci numbers, prime: see primes, Fibonacci numbers
Fibonacci numbers, primes dividing:: A001578, A000057, A001604, A001603
Fibonacci numbers, primitive part of: A061446
Fibonacci numbers, products of:: A003266
Fibonacci numbers, reciprocals of:: A006172, A005522
Fibonacci numbers, signed: A039834
Fibonacci numbers, sums of:: A000119, A000121, A000557, A005968, A005969, A006133, A000556, A006132
Fibonacci numbers, transforms of:: A007440, A007435, A007436, A007552, A007553
Fibonacci numbers, two-dimensional: A006506
Fibonacci numbers: complementary sequence: A001650
Fibonacci numbers: not: A001650
Fibonacci numbers: see also (1): A007492, A003603, A001176, A001611, A003247, A003251, A003258, A002062, A006985, A006449, A001932, A005370, A003233, A005653
Fibonacci numbers: see also (2): A005620, A003254, A005625, A000071, A005207, A005269, A005624, A003256, A007570, A005270, A003257, A005626, A005623, A003255
Fibonacci numbers: see also (3): A005652, A005622, A003252, A003234, A006502, A005189, A001178, A001690, A005621, A003259, A003250, A003147, A003248, A003249
Fibonacci numbers| sequences related to (start):
Lucas numbers, generalized: see Fibonacci numbers, generalized
partitions, into Fibonacci numbers: see Fibonacci numbers, number of ways to write n as a sum of
Pell numbers, generalized: see Fibonacci numbers, generalized
primes, Fibonacci numbers: A001605*, A005478*
representations as sums of Fibonacci numbers, A000119, A000121, A006133, A006132
semi-Fibonacci numbers: A030067*
two-way infinite sequences (01): Many sequences can be extended backwards in a natural way. For example, the Fibonacci numbers (A000045) extend backards to give the two-way infinite sequence
x/(1-rx-sx^2): see Fibonacci numbers, generalized
(2-rx)/(1-rx-sx^2): see Fibonacci numbers, generalized
1/(1-rx-sx^2): see Fibonacci numbers, generalized

und ein Beispiel:

(E?)(L?) http://oeis.org/
z.B. "A000045" eingeben:

(E?)(L?) http://oeis.org/search?q=A000045&sort=created&language=english&go=Search

Displaying 1-10 of 2364 results found. page 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ... 237
A197896 : T(n,k)=Number of nXk 0..4 arrays with each element x equal to the number of its horizontal and vertical neighbors equal to 3,3,0,1,1 for x=0,1,2,3,4
1, 1, 1, 2, 7, 2, 3, 12, 12, 3, 5, 31, 50, 31, 5, 8, 79, 180, 180, 79, 8, 13, 186, 745, 1141, 745, 186, 13, 21, 465, 3046, 7589, 7589, 3046, 465, 21, 34, 1131, 12531, 46988, 82343, 46988, 12531, 1131, 34, 55, 2776, 52188, 307547, 821491, 821491, 307547, 52188
...

(E?)(L?) http://www.philosophypages.com/dy/ix2.htm
Fibonacci

(E2)(L1) http://dictionary.reference.com/browse/Fibonacci number
(E?)(L?) http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/fib.html

Fibonacci Numbers and the Golden Section

(E?)(L?) http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/fibpi.html

Pi and the Fibonacci Numbers

Surprisingly, there are several formulae that use the Fibonacci numbers to compute pi (p).
Here's a brief introduction from scratch to all that you need to know to appreciate these formulae.

Contents of this page

How Pi is calculated
Measuring the steepness of a hill
But what does "a slope of 1 in 5" mean?
The tangent of an angle
The arctan function
Gregory's Formula for arctan(t)
Radian measure
Gregory's series and Pi
Using Gregory's Series to calculate Pi/4
Using Gregory's series to calculate Pi/6
Machin's Formula
Another two-angle arctan formula for pi
Pi and the Fibonacci Numbers
The General Formulae
Wetherfield's notation
More formulae for two angles
Lucas Numbers and a Formula for Pi
More Series?
Some Experimental Maths for you to try
Finding more arctan relations for 1/N
Arctan relations for M/N
Reducing two arctans to one
Research Problems
Pi, Fibonacci and Phi
More links and References

Surprisingly, there are several formulae that use the Fibonacci numbers to compute pi (p).

(E?)(L1) http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/BiogIndex.html
Fibonacci, Leonardo (2223*) | Leonardo of Pisa (Fibonacci) (2223*) | Pisano, Leonardo Fibonacci (2223*)

(E?)(L1) http://whatis.techtarget.com/definitionsAlpha/0,289930,sid9_alpF,00.html
Fibonacci | Fibonacci number | Fibonacci poem | Fibonacci poetry

(E?)(L1) http://whatis.techtarget.com/definitionsAlpha/0,289930,sid9_alpL,00.html
Leonardo Fibonacci

(E?)(L1) http://www.textism.com/bucket/fib.html
(E?)(L?) http://primes.utm.edu/glossary/
Fibonacci | Fibonacci number | Fibonacci prime

(E?)(L?) http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/
Journal of Integer Sequences

(E?)(L1) http://www.webopedia.com/TERM/F/Fibonacci_numbers.html
(E?)(L1) http://de.wikipedia.org/wiki/OEIS
Info zur OEIS

(E6)(L1) http://mathworld.wolfram.com/letters/B.html
Binet's Fibonacci Number...

(E?)(L1) http://www.who2.com/
Fibonacci, Leonardo

(E?)(L?) http://scienceworld.wolfram.com/biography/letters/F.html
Fibonacci, Leonardo da Pi...

(E6)(L1) http://mathworld.wolfram.com/letters/F.html
Fast Fibonacci Transform | Fibonacci | Fibonacci Chain Map | Fibonacci Coefficient | Fibonacci Function | Fibonacci Hyperbolic Func... | Fibonacci Identity | Fibonacci Matrix | Fibonacci n-Step Number | Fibonacci Number | Fibonacci Polynomial | Fibonacci Prime | Fibonacci Pseudoprime | Fibonacci Q-Matrix | Fibonacci Dual Theorem

(E?)(L?) http://mathworld.wolfram.com/FibonacciNumber.html
Fibonacci Number

(E6)(L1) http://mathworld.wolfram.com/letters/G.html
Generalized Fibonacci Num...

(E6)(L1) http://mathworld.wolfram.com/letters/R.html
Reciprocal Fibonacci Cons...

(E?)(L?) http://mathworld.wolfram.com/topics/InteractiveDemonstrations.html
Fibonacci Number | Generalized Fibonacci...

(E?)(L?) http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_eponyms
Leonardo Fibonacci (1175 -1250), Mathematician - Fibonacci Numbers

(E1)(L1) http://books.google.com/ngrams/graph?corpus=0&content=Fibonacci Numbers
Abfrage im Google-Corpus mit 15Mio. eingescannter Bücher von 1500 bis heute.

Engl. "Fibonacci Numbers" taucht in der Literatur um das Jahr 1900 auf.

Erstellt: 2011-10

Fibonacci sequence (W3)

Die dt. "Fibonacci-Folge", engl. "Fibonacci sequence", trägt den Namen des italienischen Mathematiker Fibonacci (eigentlich Leonardo von Pisa, 1170 - 1250).

(E?)(L?) http://www.businessdictionary.com/terms-by-letter.php?letter=F
Fibonacci series

(E?)(L?) http://www.cut-the-knot.com/glossary/ftop.html

Fibonacci sequence

Ceva's Theorem and Fibonacci Bamboozlement
Fibonacci Nim

(E?)(L?) http://javascript.internet.com/math-related/improved-fibonacci-sequence.html

This script displays a Fibonacci sequence up to a certain number of calculations. It uses a lookup array to offset the large, recursive calculations needed to calculate large numbers, and is not too processor intensive. It is precise to 32 bits (78 iterations), after which the JavaScript interpreter rolls bits over.

(E?)(L1) http://www.mathacademy.com/pr/prime/articles.asp
(E?)(L?) http://www.mathpages.com/home/inumber.htm
(E?)(L?) http://www.mathpages.com/home/kmath078/kmath078.htm
Periods of Fibonacci Sequences mod m

(E?)(L?) http://www.mathpages.com/home/kmath315.htm
Unit Fractions and Fibonacci

(E?)(L?) http://www.mathpages.com/home/ialgebra.htm
(E?)(L?) http://www.mathpages.com/home/kmath108.htm
Fibonacci, 1/89, And All That

(E?)(L?) http://oeis.org/locate_tab.html
para-Fibonacci sequences

(E?)(L?) http://primes.utm.edu/glossary/
(E2)(L1) http://dictionary.reference.com/browse/Fibonacci sequence
(E?)(L1) http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Glossary/
(E?)(L1) http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Glossary/index.html
(E?)(L1) http://whatis.techtarget.com/definitionsAlpha/0,289930,sid9_alpF,00.html

Fibonacci
Fibonacci poem (or Fib)
Fibonacci poetry
Fibonacci sequence

(E?)(L?) http://pi.lacim.uqam.ca/eng/table_en.html
(E?)(L?) http://pi.lacim.uqam.ca/piDATA/fibofact.txt
1.226742010720353 Fibonacci factorial constant

(E?)(L?) http://primes.utm.edu/glossary/

•Fibonacci
•Fibonacci prime
•Fibonacci sequence

(E6)(L1) http://mathworld.wolfram.com/letters/F.html

(E6)(L1) http://mathworld.wolfram.com/letters/R.html
Random Fibonacci Sequence

(E1)(L1) http://books.google.com/ngrams/graph?corpus=0&content=Fibonacci sequence
Abfrage im Google-Corpus mit 15Mio. eingescannter Bücher von 1500 bis heute.

Engl. "Fibonacci sequence" taucht in der Literatur um das Jahr 1900 auf.

Erstellt: 2011-10

Fibonacci Zahlen (W3)

"Fibonacci", der "Sohn des Bonaccio", gab einer Zahlenreihe den Namen. Diese wird definiert durch:

f(0)=0
f(1)=1
f(n)=f(n-2)+f(n-1)

Diese Zahlenfolge (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...) kommt des öfteren in der Natur vor; z.B. in der Anordnung von Blütenblättern oder den Noppen der Annanas oder dem theoretischen Wachstum von Hasen-Populationen.

Die dt. "Fibonacci Zahlen" sind benannt nach dem italienischen Kaufmann und Mathematiker "Leonardo von Pisa", dem "Sohn des Bonacci", (1170 - 1240).

(E?)(L?) http://www.biografiasyvidas.com/biografia/f/index0001.htm
Fibonacci, Leonardo

(E?)(L?) http://www.die-mathematik.de/
(E?)(L?) http://cevastiko.ce.ohost.de/die-mathematik/zahlen-fibo.xml

(E?)(L2) http://www.mittelalter-lexikon.de/
Fibonacci, Leonardo - Leonardo Pisano | Leonardo Pisano (Leonardo Fibonacci)

(E?)(L1) http://www.schuelerlexikon.de/
Fibonacci

(E?)(L1) http://www.spektrum.de/page/p_sdwv_cast_datei&article_id=850433&sv%5Bconnect%5D=1&_z=798888
(E?)(L1) http://www.spektrum.de/artikel/850434&_z=798888
(E?)(L1) http://www.spektrum.de/sixcms/media.php/924/september_2006_fibonacci.pdf
September 2006
Leonardo von Pisa, genannt Fibonacci
07.09.06 | Im Jahr 1999 veröffentlichte der kleine Karibik-Staat Dominica verschiedene Briefmarken zum Jahrtausendwechsel. Zum frühen 13. Jahrhundert findet man neben Franz von Assisi und Dschingis Khan auch das Portrait eines jungen Mannes mit Namen LEONARDO FIBONACCI und die Jahreszahl 1202. » weiter
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(E1)(L1) http://www.wortwarte.de/
Fibonacci-Retracement

(E?)(L?) http://www.zahlenjagd.at/mathematiker.html
(E?)(L?) http://www.zahlenjagd.at/fibonacc.html
Leonardo von Pisa (Fibonacci)

(E1)(L1) http://books.google.com/ngrams/graph?corpus=8&content=Fibonacci Zahlen
Abfrage im Google-Corpus mit 15Mio. eingescannter Bücher von 1500 bis heute.

Dt. "Fibonacci Zahlen" taucht in der Literatur nicht signifikant auf.

Erstellt: 2011-10

Fibonacci-Folge (W3)

Die dt. "Fibonacci-Folge", frz "Suite de Fibonacci", engl. "Fibonacci Sequence", ist benannt nach dem italienischen Kaufmann und Mathematiker "Leonardo von Pisa", dem "Sohn des Bonacci", (1170 - 1240).

Die "Fibonacci-Folge" wird gebildet mit den ersten Folgegliedern F1 := 0, F2 := 1. Die weiteren Folgeglieder werden nach der Regel F(n+1) := F(n-1) + Fn gebildet. Also: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514229, 832040, 1346269, 2178309, 3524578, 5702887, 9227465, 14930352, 24157817, 39088169, 63245986, 102334155, ...

Interessanterweise strebt der Quotient von F(n+1)/Fn dem Goldenen Schnitt. Dieser wiederum zerlegt eine Strecke s derart in a und b dass gilt: s/a = a/b.

Man kann auch ein Rechteck mit den Seiten a und b, nach dem goldenen Schnitt bilden. Dann gilt (a+b)/a = a/b.

Dividiert man also 102334155 durch 63245986, so erhält man 1,618.
Und 1,618/1 = 1/(1,618-1) = 1/0,618 = 1,618

(E?)(L?) http://www.3sat.de/dynamic/sitegen/bin/sitegen.php?scsrc=g&tab=2&division=nano&source=/SCRIPTS/themen/themenframe.htm&red=nano
(E?)(L1) http://www.3sat.de/page/?source=/nano/cstuecke/79846/index.html

Fraktale, Goldener Schnitt, Fibonacci und Sonnenblumen

In der Biologie findet sich eine Unmenge Mathematik - was eine gute Erklärung hat

Sehen Sie diesen Beitrag in unserer Mediathek

Wenn jede Zahl die Summe ihrer zwei Vorgänger ist, dann hat man nicht nur die Fibonacci-Folge, sondern auch eine Übersicht über den Aufbau einer Sonnenblume: Die stellt ihre Teilblüten nämlich in der Reihenfolge 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 ... auf. Der Grund liegt aber weniger in einer verborgenen Zahlenmystik, sondern an dem Wirken des Pflanzenhormons Auxin und dem Streben der Pflanze, dass jedes Blatt so viel Licht als möglich bekommt. Schließlich sollen sich die Blätter ja nicht selbst überdecken.

So legt die Pflanze sie in dem größtmöglichen Abstand an. Das heißt zwar für zwei Blätter "gegenüber", doch ein drittes Blatt gerät in die Nähe der beiden anderen - ein 120-Grad-Winkel wäre die Lösung. Doch dann kommt das vierte, das fünfte - und darum muss der Winkel sich so selten als möglich stören.
...

(E?)(L?) http://www.matheraetsel.de/zahlentheorie.html
Fibonacci Folge

(E?)(L?) http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/inhalt/beispiel/beispiel539/

(E1)(L1) http://books.google.com/ngrams/graph?corpus=8&content=Fibonacci-Folge
Abfrage im Google-Corpus mit 15Mio. eingescannter Bücher von 1500 bis heute.

Dt. "Fibonacci-Folge" taucht in der Literatur nicht signifikant auf.

Erstellt: 2011-10

Fibonacci-Zahlen (W3)

Die dt. "Fibonacci-Zahlen", engl. "Fibonacci Numbers", tragen den Namen des italienischen Mathematiker Fibonacci (eigentlich Leonardo von Pisa, 1170 - 1250).

(E?)(L?) http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/mathe.htm
Fibonacci-Zahlen: Wie vermehren sich Kaninchen? Zahlenverhältnisse in der Natur

(E?)(L?) http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/fibonacci.htm
(E?)(L?) http://www.geo.de/GEO/interaktiv/wissenstests/58776.html

Was sind Fibonacci-Zahlen? Wie viele Flächen hat ein Dodekaeder? - Zeigen Sie im Jahr der Mathematik, dass Sie mehr als das kleine Einmaleins beherrschen!

(E?)(L?) http://www.matheplanet.com/
(E?)(L1) http://www.mathe-seiten.de/fibonacci.pdf
(E?)(L?) http://www.unendliches.net/

(E1)(L1) http://books.google.com/ngrams/graph?corpus=8&content=Fibonacci-Zahlen
Abfrage im Google-Corpus mit 15Mio. eingescannter Bücher von 1500 bis heute.

Dt. "Fibonacci-Zahlen" taucht in der Literatur nicht signifikant auf.

Erstellt: 2011-10

Fibonaccizahlen (W3)

Die dt. "Fibonaccizahlen" sind benannt nach dem italienischen Kaufmann und Mathematiker "Leonardo von Pisa", dem "Sohn des Bonacci", (1170 - 1240).

(E?)(L?) http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/bruchrechnung1.htm#kettenbruch
(E6)(L?) http://www.jumk.de/
Die Fibonaccizahlen

(E1)(L1) http://books.google.com/ngrams/graph?corpus=8&content=Fibonaccizahlen
Abfrage im Google-Corpus mit 15Mio. eingescannter Bücher von 1500 bis heute.

Dt. "Fibonaccizahlen" taucht in der Literatur nicht signifikant auf.

Erstellt: 2011-10

Fibonacci-Zahlenreihe (W3)

Die "Fibonacci-Zahlenreihe" (engl. "Fibonacci Numbers") trägt den Namen des italienischen Mathematikers Leonardo Fibonacci (1170-1250).

(E?)(L1) http://www.ijon.de/mathe/fibonacci/index.html

Fibonacci-Zahlen
Die Fibonacci-Zahlen sind eine der bekanntesten Zahlenfolgen. Sie fangen mit 0 und 1 an, und dann ist jede Fibonacci-Zahl gleich der Summe der beiden vorhergehenden Fibonacci-Zahlen. Es gibt eine Vielzahl von Querbezügen zu anderen Objekten in der Mathematik: Eine explizite Formel (die Formel von Binet) setzt sie beispielsweise in Verbindung mit dem Goldenen Schnitt. Sie tauchen im Pascalschen Dreieck als Summen von Diagonalen auf. In der Kombinatorik erscheinen sie häufig. Und in der Natur kann man sie als Anzahlen von Spiralen von blattähnlichen Organen bei Pflanzen beobachten.

Diesen Text habe ich im Jahre 1997 geschrieben. Er enthält einen Überblick über einige interessante Dinge, die man mit den Fibonacci-Zahlen anstellen kann. Beweise habe ich nur für einige elementare, aber nicht offensichtliche Behauptungen eingefügt. Die anderen Beweise werden dem Leser überlassen, oder ich habe eine Referenz angegeben.

Der Text wurde mittels des Programmes latex2html von LaTeX konvertiert, aber von mir noch stark nachbearbeitet. Da sich html für mathematische Texte nur bedingt eignet, und ich versucht habe, das Einbinden von Bildern soweit wie möglich zu vermeiden, sieht der Text an vielen Stellen ziemlich zusammengestückelt aus. Es gibt ihn deshalb hier auch noch als Postscript-Datei (die html-Version enthält einige geringfügige Korrekturen):

•Grundlagen
?Definition
?Die einfachsten Formeln
?Die Formel von Binet
¦Die Formel
¦Beweis durch Eigenwertrechnung
¦Das charakteristische Polynom
¦Folgerungen
¦Fibonacci-Zahlen mit Matrix-Subskript
?Fibonacci-Zahlen und Binomial-Koeffizienten
?Grenzwerte mit Fibonacci-Zahlen
?Die Inversen der Fibonacci-Zahlen
•Zahlentheoretische Eigenschaften der Fibonacci-Zahlen
?Der ggT von Fibonacci-Zahlen
?Die Fibonacci-Folge modulo n
¦Die Periode der Fibonacci-Folge modulo n
¦Die Periode der Fibonacci-Folge modulo p
¦Die Verteilung der Fibonacci-Zahlen modulo n
¦Summen von Fibonacci-Zahlen modulo n
?Primitive Teiler
?Fibonomial-Koeffizienten
¦Definition
¦Stern-Konfigurationen mit ggT-Eigenschaft
?Fibonacci-Zahlen als Quadrat- und Kubikzahlen
?Die Fibonacci-Zahlen als diophantische Menge
•Fibonacci-Polynome und Fibonacci-artige Polynome
?Fibonacci-Polynome
?Fibonacci-artige Polynome
•Der Satz von Zeckendorf
?Der Satz
?Zeckendorf- oder Fibonacci-Sequenzen
•Fibonacci-Bäume
?Der Stammbaum der Kaninchen
¦Der Stammbaum eine Drohne
?Die goldene Sequenz
?Der Fibonacci-Baum und die Zeckendorf-Darstellung
•Fibonacci-Zahlen und Kombinatorik
?Als Anzahl der Zerlegungen in 1en und 2en
?Als Anzahl der Spiegelungen an zwei Glasplatten
•Leonardo von Pisa und der Liber Abaci
•Phyllotaxis
?Zählen von Spiralen
?Divergenzwinkel und Kettenbruchentwicklung
?Ontogenetische Modelle
•Links, verwendete Literatur

(E?)(L1) http://www.markenlexikon.com/markenglossar.html

Auf den gleichnamigen italienischen Mathematiker zurückgehende unendliche Zahlenreihenfolge, die vielfach im Markenmanagement bei der Festlegung von Proportionen (z.B. von Logos) oder Rhythmen (z.B. von Jingles) Anwendung findet; Leonardo Fibonacci (1170-1250) führte Mitte des 12. Jahrhunderts das arabische Zeichensystem ein, das die römischen Zahlen ablöste und entdeckte verblüffende Gesetzmäßigkeiten in Zahlenfolgen; bei der nach ihm benannten Summenzahlenreihe addieren sich die zwei, jeweils voran stehenden Zahlen zur nächsten: Zn = Zn-1 + Zn-2 Daraus ergibt sich der charakteristische Rhythmus 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 etc. (vgl. hierzu auch > Ästhetik, > Stil und > Symmetrie)

(E?)(L?) http://www.marketing.ch/lexikon.asp?letter=F
Fibonacci-Zahlenreihe

G

Golden Ratio (W3)

In der zweiten Ausgabe des Werks "Die Reine Elementar-Mathematik" von Martin Ohm aus dem Jahr 1835 findet man die erste Erwähnung des "goldenen Schnittes", engl. "golden section". Danach findet man die Lehnübersetzung von "Goldener Schnitt" als engl. "Golden Ratio" in einem Artikel über "Ästhetik" von James Sulley in der "Encyclopedia Britannica" aus dem Jahr 1875.

Das Symbol "Φ", "φ" ("Phi", "phi") geht wahrscheinlich zurück auf Mark Barr, Anfang des 20. Jh. Dieser wollte mit dem Zeichen "Φ" ("Phi") an den griechischen Bildhauer "Phidias" (ca. 490-430 BC) erinnern, in dessen Werken der "Goldene Schnitt" reichlich zu finden ist.

Ausgehend von der Beziehung (x-1)/1 = 1/x kommt man zu x(x-1) = 1 und damit zu x^2 - x - 1 = 0. In die quadratische Gleichung eingesetzt erhält man x = (1 +- 5^(1/2)) / 2 und damit x = 1,618033989... bzw. x = -0,618033989...

(E?)(L1) http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/GoldenRatio.shtml
Golden Ratio in Geometry

(E?)(L1) http://www.friesian.com/golden.htm
The Golden Ratio and The Fibonacci Numbers
...
The Golden Ratio is an irrational number, but not a transcendental one (like ), since it is the solution to a polynomial equation.
...

(E?)(L?) http://oeis.org/A001622
A001622 Decimal expansion of golden ratio phi (or tau) = (1 + sqrt(5))/2.

(E?)(L1) http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Golden_ratio.html

...
Euclid, in The Elements, says that the line AB is divided in extreme and mean ratio by C if AB:AC = AC:CB.
...

(E?)(L1) http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Glossary/index.html
(E?)(L?) http://pi.lacim.uqam.ca/eng/table_en.html
1.618033988749894, Golden ratio = (1+sqrt(5))/2 = phi

(E?)(L?) http://pi.lacim.uqam.ca/piDATA/golden.txt

The golden ratio to 10 million digits computed on December 2, 1996 on a SGI R10000 at 194 mHz.
With a third-order Newton iteration program in Maple written by Greg J. Fee.
The computation took 29 minutes and 16 seconds.
Computation conducted by Simon Plouffe.
...

(E6)(L1) http://mathworld.wolfram.com/letters/G.html
Golden Ratio | Golden Ratio Conjugate

(E?)(L?) http://mathworld.wolfram.com/GoldenRatio.html

...
The term "golden section" (in German, "goldener Schnitt" or "der goldene Schnitt") seems to first have been used by Martin Ohm in the 1835 2nd edition of his textbook "Die Reine Elementar-Mathematik" (Livio 2002, p. 6). The first known use of this term in English is in James Sulley's 1875 article on aesthetics in the 9th edition of the "Encyclopedia Britannica". The symbol ("phi") was apparently first used by Mark Barr at the beginning of the 20th century in commemoration of the Greek sculptor Phidias (ca. 490-430 BC), who a number of art historians claim made extensive use of the golden ratio in his works (Livio 2002, pp. 5-6). Similarly, the alternate notation is an abbreviation of the Greek tome, meaning "to cut."
...

(E?)(L?) http://www.youtube.com/watch?v=oL0wpOXX5-k

Create award-winning photos: The Golden Ratio sweeps the awards at international photo contest

(E1)(L1) http://books.google.com/ngrams/graph?corpus=0&content=Golden Ratio
Abfrage im Google-Corpus mit 15Mio. eingescannter Bücher von 1500 bis heute.

Engl. "Golden Ratio" taucht in der Literatur um das Jahr 1900 auf.

Erstellt: 2011-11

Goldene Zahl (W3)

Zur "goldenen Zahl" gibt es unterschiedliche Beschreibungen. Einerseits findet man: "Goldene Zahl" ist "die Nummer des Jahres im 19-jährigen Mondzyklus, nach dem die Mondphasen (nahezu) wieder auf dieselben Tage des Sonnenjahres fallen". Andererseits wird die "Goldene Zahl" mit dem "Goldenen Schnitt" gleichgesetzt.

Frz. "Nombre d'Or" entspricht jedenfalls dt. "Goldener Schnitt".

Die Qualifikation "golden" oder frz. "d'Or" verweist bei der dt. "Goldene Zahl" auf die Goldfarbe mit der sie in alten Kalendern geschrieben wurde.

Adelung schreibt dazu:

Die goldene Zahl in der Astronomie, welche andeutet, das wievielste Jahr ein aufgegebenes in dem Mondzirkel ist.

Die goldene Zahl, in der Zeitrechnung, diejenige Zahl, welche anzeiget, das wie vielte ein gegebenes Jahr in dem Mondzirkel sey; wegen ihres großen Nutzens in der Berechnung des Osterfestes.

(E?)(L?) http://www.manuscripta-mediaevalia.de/gaeste/grotefend/grotefend.htm
(E?)(L?) http://www.manuscripta-mediaevalia.de/gaeste/grotefend/system.htm
(E?)(L?) http://www.manuscripta-mediaevalia.de/gaeste/grotefend/g_g.htm#Goldene Zahl

...
Sie heissen so ("Goldene Zahl"), nicht, weil sie etwa - wie man annahm, mit goldenen Buchstaben in alten Kalendern geschrieben sind, und wie die sonstigen weit hergeholten Annahmen alle heissen mögen - sondern weil sie so hervorragend nützlich sind, wie z.B. der goldene Schnitt für die Mathematik, die goldene Ader für die Biotik, die goldene Mittelstrasse für die Lebensphilosophie.
...

(E?)(L?) http://www.manuscripta-mediaevalia.de/gaeste/grotefend/Tafeln.htm
Tafel V: Goldene Zahl.

(E1)(L1) http://books.google.com/ngrams/graph?corpus=8&content=Goldene Zahl
Abfrage im Google-Corpus mit 15Mio. eingescannter Bücher von 1500 bis heute.

Dt. "Goldene Zahl" taucht in der Literatur um das Jahr 1850 auf.

Erstellt: 2011-11

Goldener Schnitt (W3)

In der zweiten Ausgabe des Werks "Die Reine Elementar-Mathematik" von Martin Ohm aus dem Jahr 1835 findet man die erste Erwähnung des "goldenen Schnittes", engl. "golden section". Danach findet man die Lehnübersetzung von "Goldener Schnitt" (lat. "sectio aurea", auch "sectio divina", frz. "section d'or") als engl. "Golden Ratio" in einem Artikel über "Ästhetik" von James Sulley in der "Encyclopedia Britannica" aus dem Jahr 1875.

(E?)(L1) http://www.3sat.de/page/?source=/nano/cstuecke/79846/index.html

Fraktale, Goldener Schnitt, Fibonacci und Sonnenblumen

In der Biologie findet sich eine Unmenge Mathematik - was eine gute Erklärung hat

Sehen Sie diesen Beitrag in unserer Mediathek

Wenn jede Zahl die Summe ihrer zwei Vorgänger ist, dann hat man nicht nur die Fibonacci-Folge, sondern auch eine Übersicht über den Aufbau einer Sonnenblume: Die stellt ihre Teilblüten nämlich in der Reihenfolge 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 ... auf. Der Grund liegt aber weniger in einer verborgenen Zahlenmystik, sondern an dem Wirken des Pflanzenhormons Auxin und dem Streben der Pflanze, dass jedes Blatt so viel Licht als möglich bekommt. Schließlich sollen sich die Blätter ja nicht selbst überdecken.

So legt die Pflanze sie in dem größtmöglichen Abstand an. Das heißt zwar für zwei Blätter "gegenüber", doch ein drittes Blatt gerät in die Nähe der beiden anderen - ein 120-Grad-Winkel wäre die Lösung. Doch dann kommt das vierte, das fünfte - und darum muss der Winkel sich so selten als möglich stören.
...

(E2)(L1) http://www.beyars.com/kunstlexikon/lexikon_3571.html
(E2)(L1) http://www.beyars.com/lexikon/lexikon_1880.html
(E?)(L1) http://www.brefeld.homepage.t-online.de/

DIN-Papier und Goldener Schnitt - Welches sind die günstigsten Seitenverhältnisse für rechteckige Papierblätter und Briefumschläge? Warum ist das Verhältnis der Seiten eines DIN-Blattes gleich Wurzel aus 2?

(E?)(L?) http://www.formel-sammlung.de/ld-Goldener-Schnitt-734.html

...
Das spektakulärste Beispiel für die Realisierung des Goldene Schnitts in der Natur findet sich bei der Anordnung von Blättern (Phyllotaxis) und in Blütenständen mancher Pflanzen. Bei diesen Pflanzen teilt der Winkel zwischen zwei aufeinanderfolgenden Blättern den Vollkreis von 360° im Verhältnis des Goldenen Schnittes, wenn man die beiden Blattwurzeln durch eine Parallelverschiebung eines der Blätter entlang der Pflanzenachse zur Deckung bringt. Es handelt sich um den Goldenen Winkel von etwa 137,5°.

Beispiele sind die Sonnenblume, Kohlarten, Kiefernnadel an jungen Ästen, Zapfen, Agaven, viele Palmen- und Yuccaarten und die Blütenblätter der Rose, um nur einige zu nennen.
...
Der Goldene Schnitt lässt sich natürlich auch über radiärsymmetrische fünfzählige Blüten konstruieren wie beispielsweise bei der Glockenblume, der Akelei und der (wilden) Heckenrose. Der Abstand der Spitzen von Blütenblättern nächster Nachbarn zu dem der übernächsten steht wie beim regelmäßigen Fünfeck üblich im diesem Verhältnis. Das betrifft natürlich auch Seesterne und andere Tiere mit fünfzähliger Symmetrie.

...

(E?)(L1) http://www.foto-net.de/net/stichw.html

...
Besteht der Bildaufbau aus verschiedenen Flächen (zum Beispiel Landschaft und Himmel), stellt sich die Frage, wie man die Bildfläche einteilt. Eine mittige Teilung empfiehlt sich nur für grafisch wirkende Aufnahmen, sie wirkt leicht langweilig und dilettantisch. Eine extreme Einteilung, bei der die Trennlinie sehr nahe an den Bildrand zu liegen kommt, wirkt auch unharmonisch, wenn sie die Bildaussage nicht unterstreicht. Am harmonischsten wird eine Einteilung im goldenen Schnitt empfunden. Die kleinere Fläche verhält sich dabei zur grössen Fläche wie die grosse Fläche zur Gesamtfläche. Das Teilungsverhältnis beträgt etwa 3:5.
...

(E?)(L?) http://www.janaszek.de/t/typograph-online.htm
(E?)(L?) http://www.markenlexikon.com/glossar_g.html

"Goldener Schnitt" ("Stetige Teilung" / "Göttliche Teilung") bezeichnet das Verhältnis zweier aufeinanderfolgender Zahlen der Fibonacci-Zahlenreihe.
...

(E?)(L?) http://www.mathematik.de/mde/information/matheInGeschichteUndGegenwart/weiterethemen/euklid.pdf
Buch XIII - goldener Schnitt und platonische Körper.29

(E6)(L1) http://www.mathematische-basteleien.de/goldenerschnitt.htm
(E?)(L1) http://www.textism.com/bucket/fibsquare.html
Golden Section - Derived from the square

(E3)(L1) http://www.textlog.de/4176.html
Rudolf Eisler: "Goldener Schnitt"

(E2)(L1) http://www.typolexikon.de/g/goldener-schnitt.html
(E?)(L?) http://hydra.nat.uni-magdeburg.de/math4u/var/idx.html

(E1)(L1) http://books.google.com/ngrams/graph?corpus=8&content=Goldener Schnitt
Abfrage im Google-Corpus mit 15Mio. eingescannter Bücher von 1500 bis heute.

Dt. "Goldener Schnitt" taucht in der Literatur um das Jahr 1870 auf.

Erstellt: 2011-11

Göttliche Teilung (W3)

Der "Goldene Schnitt" wird auch "Stetige Teilung" und "Göttliche Teilung" genannt. Diese Bezeichnungen könnten als Lehnübersetzung des 1509 von Luca Pacioli veröffentlichten Werks "Divina Proportione", wörtlich dt. "Göttliches Verhältnis", sein.

(E?)(L?) http://www.markenlexikon.com/glossar_g.html

"Goldener Schnitt" ("Stetige Teilung" / "Göttliche Teilung") bezeichnet das Verhältnis zweier aufeinanderfolgender Zahlen der Fibonacci-Zahlenreihe.
...

(E1)(L1) http://books.google.com/ngrams/graph?corpus=8&content=Göttliche Teilung
Abfrage im Google-Corpus mit 15Mio. eingescannter Bücher von 1500 bis heute.

Dt. "Göttliche Teilung" taucht in der Literatur nicht signifikant auf.

Erstellt: 2011-11

gutenberg
Husted, Michael
The Fibonacci Number Series
Fibonacci's Numbers - the first 1000

(E?)(L1) http://www.gutenberg.org/browse/authors/h

Erstellt: 2011-10

H

h2g2
Number 16180

(E?)(L?) http://h2g2.com/dna/h2g2/Search?searchstring=1.6180&searchtype=goosearch&showapproved=1&go.x=8&go.y=4

How to Draw a Pentagram

Erstellt: 2011-12

I

J

K

L

M

N

Nombre d'Or (W3)

Die frz. "Nombre d'Or" entspricht dt. "Goldener Schnitt" und hat etwa den Wert 1,6 (genau: (1+5^(1/2))/2). Der "Goldene Schnitt" wird auch lat. "Sectio aurea" oder dt. "stetige Teilung" genannt. Die Bezeichnung "stetige Teilung" dürfte eine Lehnübersetzung des 1509 von Luca Pacioli veröffentlichten Werks "Divina Proportione" sein.

Il revient à la mode à la Renaissance. En 1509, Luca Pacioli publie un ouvrage intitulé "Divina Proportione", illustré par Léonard de Vinci: premier traité consacré pour une large part au nombre d'or. L'époque contemporaine fait une large place au nombre d'or, en particulier avec le peintre Sérusier et l'architecte Le Corbusier. Le peintre catalan Salvador Dali a également utilisé le nombre d'or dans sa peinture.

(E?)(L1) http://agora.qc.ca/dossiers/Nombre_d_or

(E?)(L1) http://www.bibmath.net/dico/index.php3?action=liste&prem=c&fin=d
(E?)(L1) http://www.bibmath.net/dico/index.php3?action=affiche&quoi=./n/nbor.html

Divine proportion Le nombre d'or
Division en moyenne et extrême raison Le nombre d'or
Pentagramme Le nombre d'or
Section dorée Le nombre d'or

(E1)(L1) http://histoiredechiffres.free.fr/histoire%20notations/nombre%20or.htm
Le nombre d'or

(E1)(L1) http://trucsmaths.free.fr/nombre_d_or.htm
Le nombre d'or (décimales, histoire, infos. . . )

Histoire
Où le rencontre -t-on ?
Définition et valeur
Section d'or
Rectangle d'or
Construction géométrique du nombre d'or
Spirale d'or
Pentagone régulier
Triangles d'or
De la trigonométrie en or
Nombres et suite de Fibonacci
Fraction continue
Propriétés algébrique du nombre d'or
Une formule liant le nombre pi et le nombre d'or
Liens

(E1)(L1) http://books.google.com/ngrams/graph?corpus=7&content=Nombre d'Or
Abfrage im Google-Corpus mit 15Mio. eingescannter Bücher von 1500 bis heute.

Frz. "Nombre d'Or" taucht in der Literatur um das Jahr 1790 auf.

Erstellt: 2011-11

O

P

Phi (W3)

Das Symbol "Φ", "φ" ("Phi", "phi") geht wahrscheinlich zurück auf Mark Barr, Anfang des 20. Jh. Dieser wollte mit dem Zeichen "Φ" ("Phi") an den griechischen Bildhauer "Phidias" (ca. 490-430 BC) erinnern, in dessen Werken der "Goldene Schnitt" reichlich zu finden ist.

"Φ" erhält man auch durch den Endlosbruch 1 / (1 + 1 / (1 + 1 / 1 + (1 + 1 / 1 + ... )))...

(E?)(L?) http://www.goldennumber.net/
(E?)(L?) http://www.mathematische-basteleien.de/goldenerschnitt.htm
(E2)(L1) http://dictionary.reference.com/browse/phi
(E1)(L1) http://www.symbols.com/index/wordindex-p.html
(E?)(L?) http://www.symbols.com/encyclopedia/47/474.html
(E?)(L?) http://mathworld.wolfram.com/GoldenRatio.html

...
The symbol ("phi") was apparently first used by Mark Barr at the beginning of the 20th century in commemoration of the Greek sculptor Phidias (ca. 490-430 BC), who a number of art historians claim made extensive use of the golden ratio in his works (Livio 2002, pp. 5-6). Similarly, the alternate notation is an abbreviation of the Greek tome, meaning "to cut."
...

(E1)(L1) http://books.google.com/ngrams/graph?corpus=8&content=Phi
Abfrage im Google-Corpus mit 15Mio. eingescannter Bücher von 1500 bis heute.

Dt. "Phi" taucht in der Literatur um das Jahr ???? / nicht signifikant auf.

Erstellt: 2011-11

Phi Guy (W3)

Gary Meisner nennt sich "The Phi Guy". Auf seiner Site sammelt er alles Erreichbare über den "Goldenen Schnitt".

Die Motivation klingt zwar etwas zahlenmystisch, aber die Informationen sind zahlreich.

(E?)(L?) http://www.goldennumber.net/

Dedicated to providing you with the best information on

The Golden Ratio, Section or Mean
The Divine Proportion
The Fibonacci Series 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 ...
and the golden number, Phi ( ) 1.618 0339 887...

GoldenNumber.Net exists to share information on the pervasive appearance of Phi, 1.618 ... , the Golden Ratio in life and the universe. Its goal is to present a broad sampling of phi related topics in an engaging and easy-to-understand format and to provide an online community in which new findings about Phi can be shared. Select an area of interest below or begin with Phi for NeoPhites or the Golden Ratio Overview article. Enjoy the 'phi-nomenon'!

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(E?)(L?) http://www.goldennumber.net/phiguy.htm

Erstellt: 2011-11

phimatrix
Design and analysis software inspired by Phi, the Golden Ratio

(E?)(L?) http://www.phimatrix.com/

Overlays any image on your screen.
Quickly identifies phi proportions.
Analyze and design in seconds.
Dozens of applications.
Easy to use.

Erstellt: 2011-11

Q

R

S

Stetige Teilung (W3)

Der "Goldene Schnitt" wird auch "Stetige Teilung" und "Göttliche Teilung" genannt. Diese Bezeichnungen könnten als Lehnübersetzung des 1509 von Luca Pacioli veröffentlichten Werks "Divina Proportione", wörtlich dt. "Göttliches Verhältnis", sein.

(E?)(L?) http://www.markenlexikon.com/glossar_g.html

"Goldener Schnitt" ("Stetige Teilung" / "Göttliche Teilung") bezeichnet das Verhältnis zweier aufeinanderfolgender Zahlen der Fibonacci-Zahlenreihe.
...

(E1)(L1) http://books.google.com/ngrams/graph?corpus=8&content=Stetige Teilung
Abfrage im Google-Corpus mit 15Mio. eingescannter Bücher von 1500 bis heute.

Dt. "Stetige Teilung" taucht in der Literatur nicht signifikant auf.

Erstellt: 2011-11

Suite de Fibonacci (W3)

Suites linéaires à coefficients constants, sans second membre - Ce sont, en particulier, les suites de Fibonacci, Lucas, Perrin, Padovan etc.
Suite de Fibonacci et suite de Lucas
Suites autogénératrices Suite de Kimberly, Fibonacci, Wythoff (basse et haute), écritures d'entiers évitant certains motifs, substitutions et morphismes.
Suite des nombres de Keith - Ces nombres sont encore appelés Repfigits (repetitive fibonacci-like digits). La notion est étendue à d'autres bases de numération.

(E1)(L1) http://books.google.com/ngrams/graph?corpus=7&content=Suite de Fibonacci
Abfrage im Google-Corpus mit 15Mio. eingescannter Bücher von 1500 bis heute.

Frz. "Suite de Fibonacci" taucht in der Literatur nicht signifikant auf.

Erstellt: 2011-10

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U

Uni Surrey
Fibonacci Numbers and the Golden Section

(E?)(L?) http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/

This is the Home page for Dr Ron Knott's multimedia web site on the Fibonacci numbers, the Golden section and the Golden string hosted by the Mathematics Department of the University of Surrey, UK.

Erstellt: 2011-11

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Buecher zur Kategorie:

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Zahlen, Número, Nombre, Numero, Number
Goldener Schnitt, Número áureo, Nombre d'Or, Sezione aurea, Golden ratio

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Sezione aurea (IT)

A

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Beutelspacher, Albrecht (Autor)
Petri, Bernhard (Autor)
Der Goldene Schnitt

(E?)(L1) http://www.amazon.ca/exec/obidos/ASIN/3860254049/etymologporta-20
(E?)(L1) http://www.amazon.de/exec/obidos/ASIN/3860254049/etymologety0f-21
(E?)(L1) http://www.amazon.fr/exec/obidos/ASIN/3860254049/etymologetymo-21
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(E?)(L1) http://www.amazon.com/exec/obidos/ASIN/3860254049/etymologpor09-20
Taschenbuch: 192 Seiten
Verlag: Spektrum Akademischer Verlag; Auflage: 2. Aufl. (1. Januar 1995)
Sprache: Deutsch

Kurzbeschreibung
Der Goldene Schnitt hat seit Jahrtausenden in der Mathematik und in der Kunst eine glänzende Rolle gespielt. Dieses Buch beleuchtet die schönsten Seiten des Goldenen Schnittes. Zunächst werden sowohl die Verbindungen zur Geometrie (reguläres Fünfeck, platonische Körper, Penrose-Parkette) als auch die Zusammenhänge mit der Zahlentheorie (Fibonacci-Zahlen) dargestellt. Daran anschließend wird beschrieben, wie der Goldene Schnitt bei der Analyse von Spielen eingesetzt werden kann. Nicht zuletzt werden die Verknüpfungen des Goldenen Schnittes mit der Natur (Pflanzenwachstum, Proportionen des menschlichen Körpers) und zur Kunst (Architektur, Malerei, Dichtung und Musik) behandelt. Das reich illustrierte Werk ist leicht verständlich; es eignet sich hervorragend zur selbstständigen Lektüre, aber ebenso gut zur Behandlung im Unterricht.

Erstellt: 2011-11

Etymologie, Etimología, Étymologie, Etimologia, Etymology @_ Welt, Mundo, Monde, Mondo, World Zahlen, Número, Nombre, Numero, Number Zahl 16180 in Alltag und Sprache Goldener Schnitt, Número áureo, Nombre d'Or, Sezione aurea, Golden ratio

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